2018-2019
Le fond d'écran actuel « pavage de Penrose, construit à partir d'une pentagrille, en suivant les instructions de Nicolaas Govert de Bruijn » a été réalisé par Bétréma. L'image a été retravaillée par Nicolas.
Lundi 24 juin : Gábor Hetyei https://math.uncc.edu/people/gabor-hetyei Department of Mathematics and Statistics, The University of North Carolina at Charlotte
Titre : Les tournois sans circuit alterné et les nombres de Genocchi.
Résumé :
Un tournoi est une orientation du graphe complet où les sommets sont numérotés de 1 à n.
Un circuit est alterné si les montées et les descentes alternent.
Cette classe de tournoi contient strictement la classe des tournois semi-acycliques, utilisés par Stanley, Postnikov et Ravid pour étiqueter les régions de l'arrangement des hyperplans de Linial.
Nous verrons que les tournois sans cycle alterné étiquettent les régions d'une variante homogénéisé de l'arrangement
de Linial.
En utilisant la méthode des corps finis d'Athanasiadis nous montrons que le nombre des tournois sans cycle alterné
est un nombre de Genocchi médian.
Nous verrons aussi que le nombre des tournois sans cycle alterné dont chaque sommet est la source d'une montée (sauf pour le sommet numéroté n) est un nombre de Genocchi du premier type.
Lundi 17 juin : Marni Mishna (Département de mathématiques, Université Simon Fraser, Burnaby, Colombie-Britannique, Canada) http://people.math.sfu.ca/~mmishna/
Titre : On the complexity of the cogrowth sequence
Résumé :
Given a finitely generated group with generating set S, we study the cogrowth sequence, which is the number of words of length n over the alphabet S that are equal to one.
This is related to the probability of return for walks in a Cayley graph with steps from S.
This talk will survey the connections between the structure of the group, and properties of the cogrowth sequence.
We will then show that the cogrowth sequence is not P-recursive when G is an amenable group of superpolynomial growth, answering a question of Garrabant and Pak.
In addition, we compute the exponential growth of the cogrowth sequence for certain infinite families of free products of finite groups and free groups, and prove that a gap theorem holds: if S is a finite symmetric generating set for a group G and if a(n) denotes the number of words of length n over the alphabet S that are equal to 1, then ⚠ $\limsup_n a(n)^{\mbox{ (1/n)}}$ is either less than or equal to ⚠ $2$, or greater than or equal to ⚠ $2 \sqrt(2)$.
Work in collaboration with Jason Bell.
Lundi 3 juin : Mike Whittaker (University of Glasgow) https://www.gla.ac.uk/schools/mathematicsstatistics/staff/mikewhittaker/
Titre : Aperiodic tilings: from the Domino problem to an aperiodic monotile
Résumé : Almost 60 years ago, Hao Wang posed the Domino Problem: is there an algorithm that determines whether a given set of square prototiles, with specified matching rules, can tile the plane? Robert Berger proved the undecidability of the Domino Problem by producing a set of 20,426 prototiles that tile the plane, but any such tiling is nonperiodic (lacks any translational symmetry). This remarkable discovery began the search for other (not necessarily square) aperiodic prototile sets, a finite collection of prototiles that tile the plane but only nonperiodically. In the 1970s, Roger Penrose reduced this number to two. Penrose's discovery led to the planar einstein (one-stone) problem: is there a single aperiodic prototile? In a crowning achievement of tiling theory, the existence of an aperiodic monotile was resolved almost a decade ago by Joshua Socolar and Joan Taylor. My talk will be somewhat expository, and culminate in a new direction in aperiodic tiling theory.
Lundi 27 mai : Robert Cori
Titre : Deux paramètres sur les mots de Dyck et la série à deux variables de D. Lorenzini.
Résumé :
Au cours de cet exposé je reviendrai sur les résultats que nous avons obtenus avec Yvan Le Borgne concernant le calcul du rang des configurations du tas de sable pour le graphe complet.
Je présenterai la formule que nous avions obtenu pour la série degré/rang en ne faisant appel qu’à des considérations simples sur les mots (ou chemins) de Dyck.
La liaison avec la série à deux variables introduite par Lorenzini sera ensuite considérée et j’évoquerai aussi la notion de « gonalité » pour les graphes complets.
Lundi 20 mai : Bishal Deb (LIGM, Université Paris-Est-Marne-la-Vallée et Chennai Maths Institute, Inde)
Titre : Chromatic Polynomials and Heaps of Pieces
Résumé :
Stanley in 1973 showed that the value of the chromatic polynomial of a simple undirected graph substituted with (-1) is the number of its acyclic orientations upto sign.
In 1983, Greene and Zaslavsky gave an interpretation of the coefficients of the chromatic polynomial.
We shall develop an involution on factorisations of heaps of pieces and using this involution, we shall provide bijective proofs to results from both the papers.
If time permits, we shall also look at the polynomial T(1,2q), where T(x,y) is the Tutte polynomial of the graph, which I have been looking at with Matthieu Josuat-Vergès.
Lundi 13 mai : Ludovic Jaubert (LOMA, Université de Bordeaux) https://www.loma.cnrs.fr/ludovic-jaubert/
Titre : Statistical Physics of Frustration
Résumé :
Frustration is a well known feeling ... especially when you find a bug in your code on Friday afternoon, just before going on week-end.
This seminar is not about the human aspect of frustration though, but rather about what it means in physics.
A key concept in physics is the energy.
As you cool down, any system will try to minimise its energy; this is why water goes from vapour to liquid to ice.
Sometimes it is easy, and all atoms work together to minimise the energy.
But sometimes, it is not, and there is a competition between atoms to know which ones will "work harder".
This is frustration.
In this talk, I will present a historical review about frustration, making regular contacts with combinatorics.
We shall start with water ice, the oldest frustrated system, and move gradually to modern questions in magnetic materials.
Along the way, we will talk about Pfaffians, Stochastic Loewner Evolutions (SLE), tilings, machine learning and big bang theory!
Lundi 6 mai : Adrian Tanasa
Titre : The Jacobian Conjecture, a reduction of the degree via a Combinatorial Physics approach
Résumé : The Jacobian Conjecture is a celebrated conjecture stating (since 1939!) that any locally invertible polynomial system in Cn is globally invertible with polynomial inverse. C. W. Bass et al. (1982) proved a reduction theorem stating that the conjecture is true for any degree of the polynomial system if it is true in degree three. This degree reduction is obtained with the price of increasing the dimension n. I will show in this talk a theorem concerning partial elimination of variables, which implies a reduction of the generic case to the quadratic one. The price to pay is the introduction of a supplementary parameter 0<n'<n, parameter which represents the dimension of a linear subspace where some particular conditions on the system must hold. This result was obtained using the so-called intermediate field method in a Quantum Field Theoretical (QFT) reformulation of the Jacobian Conjecture. I will first present the general idea of this QFT method and then show how it applies to obtain our reduction result for the Jacobian Conjecture.
Lundi 29 avril : Ariane Carrance (Université de Lyon) http://math.univ-lyon1.fr/~carrance/
Titre : Structure, énumération et limites de triangulations eulériennes
Résumé : Les triangulations eulériennes sont des triangulations dont les faces sont bicoloriables. Cette définition simple cache une structure beaucoup plus complexe que celle d'autres familles usuelles de cartes, telles que les triangulations quelconques ou les quadrangulations. Je présenterai différentes manières dont cette complexité s'illustre dans un travail en cours sur la convergence des triangulations eulériennes planaires vers la sphère Brownienne.
Lundi 8 avril : Michael Wallner et Cédric Chauve (Département de mathématiques, Université Simon Fraser, Burnaby, Colombie-Britannique, Canada) https://www.sfu.ca/math/department/faculty/chauve--cedric.html
Titre : counting and sampling gene families evolutionary histories
Résumé :
A gene family is a set of genes having evolved from a single ancestral gene.
The evolution of a gene family, from this ancestral gene to contemporary genes, can be described by a rooted binary tree (the gene tree) embedded into the evolutionary tree of the considerd species (the species tree).
It is not uncommon to observe discordances between a gene tree and a species tree, which motivated a large body of work in bioinformatics toward developing methods to understand such discordances.
In this work, we look at the search sace of such algorithms, and we provide grammars that specify the space of evolutionary histories, conditional to a given species tree.
From these grammars, we can obtain asymptotics estimates for the number of evolutionary histories of a given size, as well as efficient sampling algorithms.
These tools allow us to show that introducing horizontal gene transfers in an evolutionary model has a huge impact on the search space size.
Moreover, our work raises several conjectures that we will discuss.
Work in collaboration with Yann Ponty.
Lundi 1er avril : Rado Rakotonarivo (LIPN, Université Paris 13)
Titre : Sur le nombre des (d,k)-polytopes
Résumé : Un polytope est l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points dans un espace euclidien. On dénotera par (d,k)-polytope un polytope entier de dimension d de Rd et contenu dans l'hypercube [0,k]d. Ce sont des objets faciles à décrire mais dont la complexité est accrue dès que la dimension augmente. Relativement peu de choses sont connues sur ces objets et notamment leur nombre qui est exponentiel en d. Dans cet exposé, il sera proposé deux algorithmes qui comptent les (d,k)-polytopes sans pour autant les énumérer mais dont la particularité est de ne pas calculer d'enveloppe convexe. Un premier algorithme pour le cas où k = 1 et un deuxième pour k > 1. Il sera également présenté de nouveaux résultats obtenus avec les implémentations des dits algorithmes.
Lundi 25 mars : Marni Mishna (Département de mathématiques, Université Simon Fraser, Burnaby, Colombie-Britannique, Canada) http://people.math.sfu.ca/~mmishna/
Titre : A gentle introduction into analytic combinatorics in several variables. (4)
Résumé : Cf. (1)
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Lundi 25 mars : Bruno Vallette (Université Paris XIII) https://www.math.univ-paris13.fr/~vallette/
Titre : La diagonale de l’associaèdre
Résumé : Les associaèdres forment une famille de polytopes convexes qui sont des réalisations géométriques du treillis des arbres de Tamari. Ils ont de nombreuses propriétés algébriques, combinatoires, topologiques et géométriques remarquables ; ils jouent un rôle crucial dans la reconnaissance des espaces de lacets itérés, en lien avec la notion d’algèbre associative à homotopie près et en géométrie algébrique via les variétés toriques par exemple. Dans cet exposé, nous expliquerons ce qu’est le problème de la diagonale de l'associaèdre à la fois algébriquement avec le calcul opéradique et combinatoirement avec la décomposition cellulaire de ces derniers. Nous montrerons aussi pourquoi ce problème est crucial : sa résolution permet de considérer le produit de A∞-catégories de Fukaya en topologique sympléctique, le produit tensoriel en théorie des cordes ou de faire des calculs des groupes d’homologie d’espaces fibrés. L’exposé tachera de rester le plus élémentaire possible et inclura des dessins significatifs.
Lundi 18 mars : Cécile Mammez (Laboratoire J.A. Dieudonné, Université Nice Sophia-Antipolis)
Titre : Mots tassés, fonctions quasi-symétriques et fonctions symétriques non commutatives
Résumé :
Une algèbre de Hopf est un espace vectoriel muni d’une structure de bigèbre (i.e. d’une structure d’algèbre et de cogèbre avec une relation de compatibilité) et d’un antimorphisme d’algèbres particulier appelé antipode.
Dans cet exposé, nous commencerons par rappeler la notion d’algèbre de Hopf et donnerons deux exemples classiques : celui des fonctions quasi-symétriques et celui des fonctions symétriques non commutatives.
Nous traiterons ensuite le cas des mots tassés de Duchamp, Hoang-Nghia and Tanasa et nous nous intéresserons en particulier aux mots tassés stricts croissants.
En effet, on peut les munir d’une structure d’algèbre de Hopf et donner des familles d’éléments primitifs.
Son dual gradué est isomorphe à l’algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques.
Ainsi, l’algèbre de Hopf des mots tassés stricts croissants est isomorphe à celle des fonctions symétriques non commutatives.
La dernière partie de l’exposé consistera à expliquer une construction d’isomorphisme explicite permettant de déterminer des éléments primitifs dans les fonctions symétriques non commutatives.
Lundi 11 mars : Andrew Elvey Price
Titre : Eulerian orientations and the six-vertex model on planar maps
Résumé :
We exactly solve the problem of enumerating planar Eulerian orientations, which was posed by Bonichon, Bousquet-Mélou, Dorbec and Pennarun in 2016.
Then using a different method, based on the work of Kostov, we enumerate 4-valent Eulerian orientations with a weight on some vertices, corresponding to the six vertex model.
We show bijectively that the former result is a special case of the latter, although the equivalence between the obtained expressions is not immediately clear.
This is joint work with Mireille Bousquet-Mélou and Paul Zinn-Justin.
Lundi 4 mars : Marni Mishna (Département de mathématiques, Université Simon Fraser, Burnaby, Colombie-Britannique, Canada) http://people.math.sfu.ca/~mmishna/
Titre : A gentle introduction into analytic combinatorics in several variables. (3)
Résumé : Cf. (1)
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Lundi 4 mars : Alin Bostan (Équipe SpecFun, INRIA Saclay Île-de-France) https://specfun.inria.fr/bostan/
Titre : On the paper “Walks in the quarter plane, genus zero case” by T. Dreyfus, C. Hardouin, J. Roques and M. F. Singer
Résumé : I will explain the approach used in https://arxiv.org/abs/1710.02848 to prove that the generating functions of singular models of walks in the quarter plane do not satisfy any nontrivial algebraic differential equation.
Lundi 18 février : Marni Mishna (Département de mathématiques, Université Simon Fraser, Burnaby, Colombie-Britannique, Canada) http://people.math.sfu.ca/~mmishna/
Titre : A gentle introduction into analytic combinatorics in several variables. (2)
Résumé : Cf. (1)
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Lundi 18 février : Karen Yeats (Univ. Waterloo, Ontario, Canada) https://www.math.uwaterloo.ca/~kayeats/
Titre : Some computational results on an arithmetic graph invariant with applications in physics.
Résumé :
The c_2 invariant is an arithmetic graph invariant which predicts certain properties of Feynman integrals.
Different researchers have been looking at it from different perspectives including algebraic geometry and physics.
I have been taking a more graph theoretic view of it and will report on some computational results which have been obtained from this perspective.
Joint work with Simone Hu, Jim Shaw, and Oliver Schnetz.
Lundi 4 février : Marni Mishna (département de Mathématiques, Université Simon Fraser, Burnaby, Colombie-Britannique, Canada) http://people.math.sfu.ca/~mmishna/
Titre : A gentle introduction into analytic combinatorics in several variables. (1)
Résumé : Analytic combinatorics uses complex analytic techniques to estimate counting functions and other quantities of combinatorial classes. In the univariate case, the most common strategy uses generating functions, and estimates their coefficients using contour integrals. The multivariable case is more subtle, but analogous in many ways. This course will present techniques for determining asymptotic expressions for certain subseries of multivariable rational functions. It will describe how to write combinatorial problems in a form best adapted to these strategies, and the illustrate the techniques via several families of examples. We will consider the question of efficient and effective implementation. The main results are from the 2013 text “Analytic Combinatorics in Several Variables”, but to keep the course accessible, we will retain a combinatorial perspective throughout.
- Session 1: Combinatorial sources of diagonals
There are several formalisms that translate combinatorial structure directly into functional equations for the corresponding generating function. In this way we can find the rational function that is the generating function a regular language, or an algebraic system satisfied by the generating function of a context-free language. By tracking additional parameters, we can build the multivariable generating functions. In this first lecture we consider an operation on multivariable series: the diagonal. Using the diagonal we will find expressions for generating functions of a more general family of combinatorial classes notably for some classes with transcendental D-finite generating functions. The diagonal is well studied, and it provide us with examples to analyze in the subsequent lectures.
- Session 2: The exponential growth of the coefficients of a diagonal of a rational function.
- Session 3: The sub-exponential term and constant in the coefficient asymptotics
- Session 4: An example from A to Z from lattice path enumeration.
Lundi 28 janvier : Sébastien Labbé
Titre :
Pavages apériodiques et codage de ⚠ $\mathbb{Z}^2$-actions sur le tore (5)
Résumé : Cf. (1)
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Lundi 28 janvier : Guillaume Chapuy (Institut de Recherche en Informatique Fondamentale, Université Paris-Diderot) https://www.irif.fr/~chapuy/
Titre : Sur l'énumération asymptotique des triangulations coloriées de variétés d-dimensionnelles.
Résumé :
En dimension d≥3 on prend n simplexes, et on recolle leurs facettes de manière arbitraire.
On obtient ainsi un espace topologique qui est a priori une pseudo-variété, mais pas toujours une variété.
De combien de manières peut-on le faire, asymptotiquement, pour obtenir une variété ?
On donne des réponses (très) partielles à cette question sous la forme de bornes inférieures et supérieures superexponentielles.
En particulier on détermine le comportement surexponentiel en dimension 3, dans le cas des triangulations coloriées issues des modèles de tenseurs.
Au passage on croise des questions rigolotes et nouvelles d'énumération de graphes que nous laissons partiellement ouvertes.
Travail en commun avec Guillem Perarnau.
Lundi 21 janvier : Sébastien Labbé
Titre :
Pavages apériodiques et codage de ⚠ $\mathbb{Z}^2$-actions sur le tore (4)
Résumé : Cf. (1)
Lundi 14 janvier : Sébastien Labbé
Titre :
Pavages apériodiques et codage de ⚠ $\mathbb{Z}^2$-actions sur le tore (3)
Résumé : Cf. (1)
Lundi 7 janvier : Sébastien Labbé
Titre :
Pavages apériodiques et codage de ⚠ $\mathbb{Z}^2$-actions sur le tore (2)
Résumé : Cf. (1)
Lundi 17 décembre : Sébastien Labbé
Titre :
Pavages apériodiques et codage de ⚠ $\mathbb{Z}^2$-actions sur le tore (1)
Résumé :
En 2015, Jeandel et Rao ont démontré par des calculs exhaustifs faits par ordinateur que tout ensemble de tuiles de Wang de cardinalité ≤ 10 soit admettent un pavage périodique du plan ⚠ $\mathbb{Z}^2$ soit n'admettent aucun pavage du plan.
De plus, ils ont trouvé un ensemble de 11 tuiles de Wang qui est apériodique, c'est-à-dire qui pavent le plan mais jamais de façon périodique.
Il n'y a donc pas de plus petit ensemble de tuiles de Wang apériodique que celui de Jeandel-Rao.
Il se trouve qu'il existe une bijection (hormis un sous-ensemble de mesure nulle et hormis un autre sous-ensemble conjecturé de mesure nulle) entre les pavages de Jeandel-Rao et les points du tore.
Cette bijection commute avec les translations, de sorte que c'est un isomorphisme mesurable.
Ce résultat généralise le comportement des mots sturmiens : le système dynamique symbolique engendré par un mot sturmien est conjugué en mesure à une rotation irrationnelle sur le cercle (Morse, Hedlund, 1940).
Il généralise aussi un résultat de Rauzy (1980) : le système dynamique symbolique engendré par le mot de Tribonacci est conjugué à une translation irrationnelle sur le tore, aussi appelé fractale de Rauzy.
Les pavages engendrés par les tuiles de Wang de Jeandel-Rao ont une structure si riche qu'il est possible d'en discuter pendant 4 séances de la Petite école de combinatoire (PÉC) du LaBRI.
On se réservera le droit d'ajuster le rythme des séances, le but étant de rester compréhensible, car c'est une école !
- Séance 1 :
Définition et rappels historiques sur les pavages apériodiques et la découverte de Jeandel-Rao.
Construction de pavages de Jeandel-Rao par le codage de ⚠ $\mathbb{Z}^2$-orbites sur le tore (injectivité).
La surjectivité nécessite plus de travail.
- Séances 2 et 3 :
Rappels sur les mots sturmiens. Conjugaison avec une rotation irrationnelle sur le cercle. Transformation induite sur le cercle. Construction des mots sturmiens par substitutions. Lien avec les fractions continues. Autosimilarité.
- Séance 4 :
Mots et substitutions bidimensionnelles, substitutions de tuiles de Wang, notion de tuiles marqueurs. Algorithmes de désubstitutions de tuiles de Wang. Structure substitutive des pavages de Jeandel-Rao. Pavages autosimilaires.
- Séance 5 :
Codage de ⚠ $\mathbb{Z}^2$-actions et transformations induites sur le tore.
Codage induits sur le tore.
Désubstitutions de mots bidimensionnels.
Codage autosimilaires.
Lundi 10 décembre : Florent Hivert (Université Paris-Sud, LRI) https://www.lri.fr/~hivert/
Titre : Combinatoire algébrique en Coq/MathComp
Résumé :
Dans cet exposé, je présenterai mon travail de formalisation sous le système Coq/MathComp d'un certain nombre de résultats de combinatoire algébrique, notamment la règle de Littlewood Richardson, les caractères des groupes
symétriques et la formule des équerres.
Cet exposé se veut introductif et ne suppose pas de familiarité avec les systèmes de preuves formelles.
Après une introduction au système Coq/MathComp, j'essayerai de donner une idée de la démarche, de l'intérêt et des difficultés d'un tel travail de formalisation.
Le résultat du travail est accessible sur https://github.com/hivert/Coq-Combi.
Il a bénéficié de contributions de Thibaut Benjamin, Jean Christophe Filliâtre, Christine Paulin et Olivier Stietel.
Lundi 3 décembre : Alina Mayorova (Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique (LIX))
Titre : Type B extensions of Cauchy identity and Schur-positivity related to Chow’s quasisymmetric functions.
Résumé : The Cauchy identity is a fundamental formula in algebraic combinatorics that captures all the nice properties of the RSK correspondence. In particular, expanding both sides of the identity with Gessel's quasisymmetric functions allows to recover the descent preserving property, an essential tool to prove the Schur positivity of sets of permutations. We introduce a new type B extension of Schur-positivity based on Chow's quasisymmetric functions and domino functions, i.e. generating functions for domino tableaux. Further, we suggest a q-analogue of the modified domino functions to extend a type B Cauchy identity by Lam and link it with Chow's quasisymmetric functions. We apply this result to a new framework of type B q-Schur positivity and to prove new equidistribution results for some sets of domino tableaux.
Lundi 26 novembre : Cédric Chauve (département de Mathématiques, Université Simon Fraser, Burnaby, Colombie-Britannique, Canada) https://www.sfu.ca/math/department/faculty/chauve--cedric.html
Titre : On the Median and Small Parsimony problems in some genome rearrangement Models.
Résumé : The main goal of genome rearrangement problems is to compute evolutionary scenarios that can explain the order of genes observed in extant genomes. This naturally leads to questions about the order of genes in ancestral genomes, often of extinct species. If a species phylogeny is given, this problem is known as the Small Parsimony Problem, and in its simplest form, where a single ancestral genome is considered, the Median Problem. In this talk, I will first review several algorithmic results on the Median and Small Parsimony Problems, from initial intractability results to surprising tractability results, and then present some more recent results on the same problems in the context where duplicated genes are considered.
Lundi 19 novembre : Ilya Galanov (LIPN, Université Paris 13)
Titre : On self-assembly of aperiodic tilings
Résumé : Aperiodic tilings serve as a mathematical model for quasicrystals - crystals that do not have any translational symmetry, Penrose tilings are the most famous example. The objective is to grow such a tiling by adding tiles one by one using only the local information. The motivation is to mimic the growth of a real world quasicrystals. In this paper we propose a local growth algorithm for a particular class of aperiodic tilings, namely the cut and project tilings in four-dimensional space which admit local rules. Simulations strongly support the evidence that this algorithm grows aperiodic tilings, up to an unavoidable but neglectable proportion of missing tiles.
Lundi 12 novembre : Mathieu Sablik (Université Paul Sabatier de Toulouse) https://www.math.univ-toulouse.fr/~msablik/
Titre : Mesures limites pour des automates cellulaires ou des automates cellulaires probabilistes
Résumé : Les automates cellulaires modélisent des phénomènes à interactions locales où chaque cellule est actualisée en parallèle. Ce modèle déterministe peut être bruité en perturbant l’actualisation de chaque cellule. Leur étude empirique est basée sur l’observation d’un diagramme espace temps initié par une configuration tirée au hasard. Il est donc naturel de s’intéresser aux valeurs d’adhérence de la suite des itérés d’une mesure par un automate cellulaire ou un automate cellulaire bruité, cela correspond aux comportements asymptotiques typiques observés. Dans cet exposé on s’intéressera à leur étude suivant deux approches :
- pour certaines classes d’automates cellulaire déterministe ou bruité, il est possible de déterminer les mesures limites associées ;
- on se donne une mesure et on cherche à déterminer si elle est accessible comme mesure limite par un automate cellulaire déterministe ou bruité.
Lundi 5 novembre : Alexandre Zvonkine
Titre : Construction de cartes régulières à partir de leurs petits quotients
Résumé :
Toute carte, et toute hypercarte, peut être représentée comme un triplet de permutations (⚠ $\sigma$,⚠ $\alpha$,⚠ $\phi$) qui agissent sur l'ensemble B de brins d'arêtes.
Les cycles de ⚠ $\sigma$ sont des sommets, les cycles de ⚠ $\alpha$ sont des arêtes, les cycles de ⚠ $\phi$ sont des faces.
À toute carte on peut associer deux groupes : le groupe de monodromie G = <⚠ $\sigma$,⚠ $\alpha$,⚠ $\phi$> et le groupe d'automorphismes H.
Une carte est dite régulière si ces deux groupes sont isomorphes.
Dans ce cas-là l'ensemble de brins B peut être identifié avec le groupe, et le groupe agit sur lui-même par multiplications.
Ainsi, une construction d'une carte régulière, même assez grande, peut être effectuée en fabricant d'abord un groupe ayant des propriétés voulues, et un tel groupe peut être fabriqué en tant que groupe de monodromie d'une autre carte qui est, elle, souvent petite.
Comme un exemple principal, nous allons considérer les cartes de Hurwitz.
En 1893, Hurwitz a démontré que la taille du groupe d'automorphismes d'une carte de genre g > 1 est bornée par 84(g-1).
Les cartes qui atteignent cette borne sont extrêmement rares : il y a à peu près vingt mille cartes régulières de genre entre 2 et 101, dont seulement sept atteignent la borne de Hurwitz.
Lundi 22 octobre : Samuel Simon (Department of Mathematics, Simon Fraser University, Canada)
Titre : Asymptotics of Weighted Highly Symmetric Walks.
Résumé :
A walk on the square lattice is a sequence of steps from a given step set, and the length of the walk is the size of the sequence.
The enumeration and asymptotics of walks confined to a region has been of interest, and much progress has been made within the past few decades.
We consider a particular weighted family of walks confined to the positive cone in d dimensions.
We introduce standard techniques used in manipulation functional equations to extract the desired terms from generating functions.
Then we combine results from analytics combinatorics and complex analysis along with the explicit structure of our step sets to extract the asymptotics growth.
Lundi 15 octobre : Xavier Caruso
Titre : Nombre moyen de racines d'un polynôme p-adique aléatoire
Résumé :
À l'instar des réels, le corps des nombres p-adiques s'obtient par complétion à partir des nombres rationnels et est muni d'une mesure naturelle (qui peut être considérée comme un analogue de la mesure gaussienne) qui permet de donner un sens à un nombre p-adique aléatoire et, par suite, à des structures p-adiques aléatoires plus complexes
telles que les polynômes.
L'étude des polynômes aléatoires p-adiques peut ainsi être menée de même que l'on étudie habituellement les
polynômes aléatoires réels.
Dans cet exposé, je m'intéresserai au nombre moyen de racines des polynômes p-adiques aléatoires dans le corps des nombres p-adiques, Qp, ainsi que dans ses extensions algébriques.
Je montrerai en particulier qu'un polynôme p-adique aléatoire a, en moyenne, une seule racine dans Qp et, a contrario a pratiquement toutes ses racines dans l'extension maximale non ramifiée de Qp.
Un parallèle avec la situation sur les corps finis sera également proposé.
N.-B. : L'exposé est destiné à un public pour lequel on ne suppose aucune familiarité particulière avec les nombres p-adiques.
Il contiendra en particulier de très nombreux (r)appels basiques sur Qp, et sur ses extensions algébriques.
Lundi 1er octobre : Thomas Krajewski (CPT Marseille & LIPN) http://www.cpt.univ-mrs.fr/
Titre : Algebraic structures related to loop equations
Résumé :
Random matrix theory investigates probability laws defined on matrices and proved to be useful in various areas of physics and mathematics.
In particular, the expansion of the corresponding matrix integrals around a Gaussian one leads to a sum over maps, so that the former can be considered as a generating function for maps.
Changing variables in the matrix integrals provides constraints on the generating function, known as loop equations, which reduce to the Tutte equations for map enumeration.
Loop equations are also at the origin of the topological recursion that allows to construct explicitly the generating function at fixed genus in terms of lower genera.
Recently, a purely algebraic formulation of topological recursion has been presented by Kontsevitch and Soibelman (see https://arxiv.org/abs/1701.09137), which is versatile enough to encompass various other situations, like random tensors and semi-classical expansions in quantum theory.
In this talk, I will briefly review the relation between matrix integrals and map enumeration and then show how the associated loop equations can be formulated in the wider framework proposed by Kontsevitch and Soibelman.
Lundi 24 septembre : Xavier Viennot
Titre : Empilements de Laguerre pour le PASEP
Résumé : Le PASEP (partially asymmetric exclusion process) est un modèle très connu en physique des systèmes dynamiques ayant une combinatoire sous-jacente très riche et particulièrement étudiée par l'équipe bordelaise. Josuat-Vergès a donné une belle interprétation combinatoire de la fonction de partition du modèle à 3 paramètres en termes de permutations, en utilisant une combinaison de 4 bijections. Nous en donnons une autre preuve en introduisant un nouvel objet dans le jardin combinatoire du PASEP : les empilements de Laguerre, c'est-à-dire certains empilements de segments pointés, en bijection avec les permutations. Nous montrons le lien avec les tableaux de Dyck, les « histoires de Laguerre » et la structure de données « dictionnaire » en informatique.
Lundi 17 septembre : Théo Karaboghossian
Titre : Invariant polynomial et théorème d’inversion sur le monoïde de Hopf des hypergaphes et ses sous monoïdes.
Résumé : La notion de monoïde de Hopf a été introduite par Aguiar et Mahajan et formalise de façon algébrique les notions de fusion et séparation d’objet combinatoires (concaténation de mots, restriction de graphes etc). Aguiar et Ardila ont montré que ce formalisme donne un cadre idéal pour définir des invariants polynomiaux. Dans cet exposé je présente la notion de monoïde de Hopf et m’appuie sur les travaux d’Aguiar et Ardila pour définir un nouvel invariant polynomial d’hypergraphe. Je montre ensuite que cet invariant est sujet à un théorème d’inversion similaire à celui de Stanley sur le polynôme chromatique d’un graphe. Finalement je montre que l’on retrouve des résultats similaires déjà connus en tant que conséquences de ce théorème.
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Lundi 17 septembre : Samuele Giraudo (Univ. Marne-la-Vallée) http://igm.univ-mlv.fr/~giraudo/
Titre : Réécriture dans les arbres et dénombrement
Résumé : Nous expliquons comment obtenir un système d'équations pour décrire la série caractéristique d'une famille d'arbres évitant un ensemble donné de motifs. La théorie algébrique qui permet de formaliser ce procédé est celle des opérades. Les opérades permettent, via leurs présentations par générateurs et relations, d'obtenir des systèmes de réécriture sur les arbres, qui, lorsque certaines propriétés de confluence sont vérifiées, offrent des pistes pour le dénombrement. Cette approche algébrique de l'énumération est présentée sur de nombreux exemples.