2015-2016
Vendredi 8 juillet : Sebastian Cioabă (Département de Mathématiques, Université de Delaware, États-Unis) http://www.math.udel.edu/~cioaba/
Titre : Simplicial rook graphs: algebraic and combinatorial properties
Résumé :
A few years ago, Jeremy L. Martin and Jennifer D. Wagner introduced the simplicial rook graphs SR(d,n) as the graph whose vertices are the lattice points in the n-th dilate of the standard simplex in Rd, with two vertices adjacent if they differ in exactly two coordinates.
Martin and Wagner proved that SR(3,n) has integral eigenvalues and determined other interesting properties of these graphs.
In this talk, I will describe our work proving some conjectures made by Martin and Wagner as well as determining other algebraic and combinatorial facts about these graphs.
This is joint work with Andries Brouwer (TU, Eindhoven, The Netherlands), Willem Haemers (Tilburg University, The Netherlands) and Jason Vermette (Missouri Baptist Univ., USA).
Vendredi 1er juillet : Robert Cori
Titre : Une curiosité sur une permutation opérant sur les sous-ensembles à n éléments de {1, 2, ..., 2n+1}.
Cet exposé résulte d'un travail en commun avec Niccolò Castronuovo (Bologne).
Résumé : On définit une permutation sur les sous-ensembles à n éléments de {1, 2, ..., 2n+1} qui fait intervenir des mots de Dyck et le Lemme cyclique. On a constaté une régularité dans les cycles de cette permutation. On prouve cette régularité dans certains cas, elle reste pourtant une conjecture dans le cas général. Un lien avec les pliages d'une bande de timbres-poste et avec les méandres sera évoqué. L'espoir de l'orateur est que des idées nouvelles éclosent des échanges avec l'auditoire.
Vendredi 17 juin : Patxi Laborde Zubieta
Titre : Arbres non-ambigus : nouveaux résultats et généralisation (2/2)
Résumé : Dans l'exposé 1/2, je fais mention d'une nouvelle statistique sur les arbres binaires comptant le nombre d'équerres d'un arbre. Je commencerai l'exposé par donner une bijection qui envoie cette statistique vers la statistique sur les arbres ordonnés, comptant les nœuds ayant un fils qui est une feuille. La deuxième partie de mon exposé portera sur l'obtention d'une q-version de la formule des équerres, comptant le nombre d'arbres non-ambigus ayant un arbre binaire fixé. La méthode se base sur un article de 2008 de Hivert, Novelli et Thibon, dans lequel ils mettent en place une machinerie pour redémontrer une q-version de la formule des équerres, comptant le nombre d'arbres décroissants ayant un arbre binaire fixé.
Vendredi 10 juin : Patxi Laborde Zubieta
Titre : Arbres non-ambigus : nouveaux résultats et généralisation (1/2)
Résumé :
Les arbres non-ambigus ont initialement été définis comme des dessins particuliers d'arbres binaires sur le quadrillage.
Mais on peut également les voir comme des tableaux boisés de forme rectangulaire.
Dans ce dernier cadre, Steingrímsson et Williams ont montré qu'ils sont en bijection avec les permutations dont
toutes les excédences (strictes) sont au début.
Ehrenborg and Steingrímsson avaient prouvé une formule alternante pour énumérer ces permutations particulières.
Dans cet exposé je vais donner une nouvelle définition des arbres non-ambigus en terme d'arbres binaires étiquetés croissants le long des arêtes gauches, et indépendamment, le long des arêtes droites.
Grâce à cette nouvelle vision, on prouve bijectivement une « nouvelle » formule énumérative qui a la bonne propriété d'être à termes positifs, et on trouve une formulation compacte de la série génératrice doublement exponentielle des arbres non-ambigus.
Je terminerai l'exposé par la présentation d'une généralisation des arbres non-ambigus à toutes dimensions finies.
Vendredi 3 juin : Mireille Bousquet-Mélou
Titre : Sur les orientations bipolaires des cartes
Résumé :
Les cartes planaires, étudiées depuis les années 60 par Tutte — puis beaucoup d'autres — sont désormais bien comprises.
En particulier, 20 ou 30 ans après les premiers travaux récursifs de Tutte, de belles bijections sont venues expliquer la simplicité de ses formules d'énumération.
Plus tard, ces bijections ont ouvert la voie à l'étude des grandes cartes aléatoires, vues comme des espaces métriques.
Les cartes équipées d'une structure restent plus mystérieuses.
Pour beaucoup de structures, par exemple les colorations propres, l'énumération a été faite, mais pas de façon bijective.
Et les propriétés asymptotiques des grandes cartes structurées restent à élucider.
Dans cet exposé, on traitera des cartes équipées d'une orientation bipolaire, en montrant qu'elles ont une combinatoire particulièrement riche, qui permet notamment de les dénombrer.
Cet exposé bouche-trou est basé pour partie sur des travaux pas tout jeunes avec Nicolas Bonichon et Éric Fusy (vers 2008), et pour une autre partie sur des travaux en cours avec le même Éric Fusy et Kilian Raschel.
Vendredi 27 mai : Luca Lionni https://www.researchgate.net/profile/Luca_Lionni Laboratoire d'Informatique de Paris-Nord (LIPN)
Titre : Collages maximaux d'octaèdres
Résumé :
Les graphes à arêtes proprement colorées avec (D+1) couleurs sont duaux aux triangulations dites colorées (ayant les faces colorées) de pseudo-variétés en dimension D.
Nous étudions en 3 dimensions des familles obtenues en collant des octaèdres, une généralisation des quadrangulations.
J'introduirai une bijection entre de tels graphes et certaines cartes combinatoires à arêtes colorées.
Ces dernières généralisent la représentation des hypercartes à l'aide de cartes biparties introduite par Walsh, en remplaçant les sommets correspondant aux hyper-arêtes par des structures plus compliquées.
Nous nous intéressons au nombre de cycles bicolores des graphes initiaux car ils contiennent l'information sur la courbure de la pseudo-variété triangulée.
Je montrerai donc comment identifier et compter les graphes qui maximisent le nombre de cycles bicolores à nombre d'octaèdres fixé.
Vendredi 20 mai : Sylvain Carrozza
Titre : Calcul de Grassmann et combinatoire
Résumé : Le calcul de Grassmann, basé sur des variables anti-commutantes, joue un rôle important en physique théorique. Je montrerai comment celui-ci peut par ailleurs être mis à profit pour adresser des questions purement combinatoires. Nous verrons en particulier comment démontrer le lemme de Lindström-Gessel-Viennot dans le cas général de graphes avec cycles.
Vendredi 13 mai : Yvan Le Borgne
Titre : Sur le modèle du tas de sable dans un graphe biparti complet
Résumé :
Le modèle du tas de sable étudié notamment par Dhar est un modèle de diffusion discret de grains sur les sommets d'un graphe.
Ce modèle capture des notions classiques sur le graphe : les états dits récurrents sont en bijection avec les arbres couvrants, le nombre de grains sur ces états est relié à l'activité externe définie par Tutte...
Même dans le cas de graphes fortement symétriques comme les graphes complets ou bipartis complets, cela conduits à des notions non-triviales.
Par exemple, avec Dukes, nous avions observé que dans le cas d'un graphe complet, le paramètre bounce introduit par Haglund dans une description des q,t-Catalan peut s'interpréter dans la version parallèle du test de récurrence de Dhar pour un état du modèle.
Une adaptation de cette remarque aux graphes bipartis complets nous avait conduit à la définition de q,t-Narayana.
Rejoins par Aval, D'Adderio et Hicks nous avions prouvé que ces nombres étaient très proche de q,t-analogues également introduits par Haglund avec des motivations plus algébriques.
L'objectif du jour sera le calcul du rang, un paramètre introduit par Baker et Norine en 2007 dans un analogue pour les graphes d'un théorème de Riemman-Roch.
Ce paramètre est annoncé comme NP-complet sur les graphes.
Avec Cori, nous avions proposé dans le cas des graphes complets un algorithme glouton de complexité arithmétique linéaire.
Je présenterai son adaptation au cas des graphes bipartis complets que j'ai obtenu en collaboration avec D'Adderio.
Vendredi 1er avril : Grégory Châtel (Université Paris-Est Marne-la-Vallée)
Titre : Treillis de relations binaires
Résumé : Nous définissons une structure de treillis sur les relations binaires qui peut être vue comme une généralisation de l'ordre faible sur les permutations. Le treillis que l'on obtient contient comme sous-poset (et parfois sous-treillis) de nombreux treillis liés à la combinatoire de l'ordre faible, de l'ordre de Tamari et des treillis Cambriens. La motivation de ce travail est l'étude de ces treillis qui peuvent souvent être interprétés comme des algèbres de Hopf et des polytopes.
Vendredi 18 mars : Romaric Duvignau
Titre : Préserver le nombre de cycles de longueur k dans une permutation uniforme de taille croissante
Résumé :
Dans cet exposé, je vous présenterai un nouvel arbre de génération uniforme pour les permutations qui préserve le nombre de k-cycles entre toute permutation et ses enfants dans l'arbre (à l'exception d'une petite proportion non évitable de taille optimale).
L'arbre que je vais décrire aura la propriété que lors d'une descente dans l'arbre, si le nombre de k-cycles reste constant pendant k niveaux consécutifs, alors le reste de la descente ne parcourra que des permutations avec ce même nombre de k-cycles.
Cette propriété additionnelle permet d'obtenir des algorithmes efficaces pour la génération de permutations (permutations uniformes avec un nombre de k-cycles fixé) et de variables aléatoires de Poisson.
Ce travail en collaboration avec Ph. Duchon généralise un précédent arbre avec des propriétés similaires traitant le cas k=1.
Vendredi 4 mars : Benjamin Hellouin de Menibus (département de mathématiques, université Andrés Bello, Santiago, Chili) http://www.mat-unab.cl/~hellouin/index_fr.html
Titre : Uniformisation de l'aléa en dynamique symbolique
Résumé :
Une transformation d'un espace est dite randomisante si son itération tend à uniformiser la distribution des configurations de cet espace.
Plus précisément, quand on fixe la mesure de probabilité initiale non uniforme (la distribution initiale), l'itération de la transformation fait converger cette mesure vers la mesure uniforme.
De tels comportements ont été remarqués expérimentalement dans certains automates cellulaires et sous-décalages de dimension 2.
Dans cet exposé, je présenterai nos récentes avancées dans l'étude des causes et des limites de ces phénomènes, qui nous ont amenées à la première preuve rigoureuse de leur existence.
Cette preuve repose sur le fort contenu algébrique des systèmes considérés qui donne à leur évolution temporelle une structure géométrique autosimilaire.
Dans un sous-décalage particulier (celui de Ledrappier), nous obtenons des changements surprenants de dynamique directionnelle suivant la direction considérée.
Vendredi 19 février : Thibault Manneville (LIX) http://www.lix.polytechnique.fr/~manneville/
Titre : Réalisation des associaèdres de graphes par des éventails de compatibilité
Résumé :
L’associaèdre est un polytope dont le treillis des faces encode la combinatoire des dissections d’un polygone convexe du plan.
Il a été généralisé dans de nombreuses directions.
Parmi elles on trouve ce qu’on appelle les associaèdres généralisés en lien avec les algèbres amassées d’une part, et les associaèdres de graphe d’autre part.
Essayer de construire un grand nombre de représentants géométriquement non équivalents de ces polytopes produit de jolis problèmes combinatoires.
Les réaliser par un éventail complet (un ensemble de cônes polyédrals qui couvrent l’espace ambiant) est un premier pas moins fort que par des polytopes, mais déjà de nature géométrique.
Dans un article de Ceballos, Santos et Ziegler, Francisco Santos propose une construction de nombreux associaèdres (classiques) non équivalents.
Cette construction commence par celle d’un éventail qui se révèle être basé sur les vecteurs dénominateurs dans le cadre des algèbres amassées.
Dans cet exposé, je présenterai la construction d’éventails réalisant les associaèdres de graphes, qui dans le cas de l’associaèdre classique est celle de Francisco Santos.
La construction, spécifiée au cas de l’associaèdre d’un cycle (cycloèdre) étend le résultat de Francisco Santos à l’associaèdre de type B, avec toujours une interprétation en terme de vecteurs dénominateurs, qui permet dans les deux cas d’obtenir une réalisation polytopale.
J’insisterai surtout sur l’aspect combinatoire de la construction.
(travail avec Vincent Pilaud arXiv:1501.07152)
Vendredi 12 février : Zakaria Chemli (Université Paris-Est Marne-la-Vallée) http://ligm.u-pem.fr/membres/temporaires/combi/zakaria-chemli/
Titre : The shifted domino tableaux
Résumé :
In 1995, Carré and Leclerc studied a bijection due to Stanton and White between domino tableaux and pairs of Young tableaux.
They gave an easier description of this bijection that highlights the role of the diagonals of tableaux.
This allows them to extend the plactic monoid of Lascoux and Schützenberger to dominoes, hence, define the super plactic monoid.
They show that each class of the super plactic monoid is represented by a unique domino tableau, and propose a new combinatorial description of the product of two Schur functions using domino tableaux, which gives a new expression of the Littlewood-Richardson rule coefficients in terms of domino tableaux.
In a recent work, we defined new combinatorial objects called the shifted domino tableaux, these objects can be seen as a shifted analog of domino tableaux or as an extension of shifted Young tableaux.
The purpose of this extension is to develop a theory of shifted domino tableaux parallel to the theory of domino tableaux and shed lights on the combinatorial properties of Q-Schur and P-Schur functions.
In this talk I will introduce the shifted domino tableaux, present a bijection between shifted domino tableaux and pairs of shifted Young tableaux, and discuss some results.
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Vendredi 12 février : Adrian Tanasă
Titre : Asymptotic expansion for random tensor models
Résumé :
Three-dimensional random tensor models are a natural generalization of the celebrated matrix models.
The associated tensor graphs can be classified with respect to a particular integer or half-integer, the degree.
I will present in this talk a combinatorial analysis of the general term of the asymptotic expansion in N, the size of the tensor, of a particular random tensor model, the so-called multi-orientable model.
I will then present some enumerative results and show which are the dominant configurations of a given degree; several examples will also be given.
Vendredi 5 février : Niccolò Castronuovo (Université de Ferrare, Italie) http://servizi.unife.it/rubrica/en/users/niccol-castronuovo
Titre : The Schutzenberger involution over Dyck paths
Résumé :
We describe a map Γ from the set of Dyck paths of given semilength to itself that is the analog of the Schützenberger involution on standard Young tableaux.
Afterwards, we examine the behavior of Γ with respect to Knuth’s correspondence between pairs of standard Young tableaux of the same shape with at most two rows and Dyck paths.
Finally, we exploit the previous results to describe a bijection between the set of 321-avoiding centrosymmetric
permutations of even length and the set of 321-avoiding involutions of the same length.
All these tools are used to find some enumerative formulas about statistics over centrosymmetric permutations.
The talk is based on a joint work with Marilena Barnabei.
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Vendredi 5 février : Razvan Gurau (CPHT, École Polytechnique) https://www.cpht.polytechnique.fr/?q=fr/node/85
Titre : Regular edge colored graphs of positive degree
Résumé : Regular edge colored graphs are dual to triangulations of pseudo manifolds in any dimension. They can be classified with respect to a non negative integer, the degree, much like maps which are classified by the genus. In this talk I will introduce the degree, discuss the (regular, edge colored) graphs of degree zero, and present the exact enumeration of connected rooted, regular, edge colored graphs of fixed degree.
Cf. http://arxiv.org/abs/1307.5279 [N.d.S.].
Vendredi 22 janvier : Minmin Wang (Université Pierre et Marie Curie) https://sites.google.com/site/minminwangproba/
Titre : Sur un modèle du graphe aléatoire inhomogène
Résumé :
Dans cet exposé, on considère un graphe aléatoire à n sommets où les arêtes sont présentes avec les probabilités proportionnelles aux produits des poids (qui sont des nombres positifs) sur les sommets.
Le modèle généralise G(n, p) (le graphe d’Erdos-Renyi) en introduisant une inhomogénéité dans les degrés des sommets.
On va donner une représentation du graphe à l’aide d’une forêt de Galton-Watson.
En particulier, cette représentation nous permettra de trouver les limites d’échelle du graphe dans le régime critique lorsque n tend vers l’infini.
L’exposé est basé sur un travail en commun avec N. Broutin et T. Duquesne.
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Vendredi 22 janvier : Yvan Le Borgne
Titre : Sur une autre somme binomiale signée donnant les nombres des Baxter
Résumé : Dans leur récent travail sur les sommes binomiales, Bostan, Lairez et Salvy (arxiv:1510.07487) présentent comme application de leurs algorithmes (Section 7.3) une identité de Le Borgne sur les nombres des Baxter. Je ne dispose pas d'interprétation combinatoire de cette identité que Lairez avait bien voulu me prouver. Par contre, je dispose d'une explication calculatoire de l'origine de cette identité. Elle vient d'une approche moins qu'élémentaire pour la résolution d'une équation fonctionnelle à deux variables catalytiques que m'avait présentée Mishna, Burril et Yen lors de mon séjour au PIMS/SFU à Vancouver en 2013/14. Cette équation était écrite pour compter les préfixes de diagrammes étendus représentant des partitions des entiers 1,2,...,n sans (future) 3-imbrication dont nous a parlé Courtiel l'an dernier. Mon approche n'avait pas été retenue, Mishna et Melczer notamment ayant prouvé par leurs propres moyens également calculatoires que ces préfixes de diagrammes étaient aussi comptés par les nombres des Baxter. Je présenterai les éléments de la preuve par mon approche qui me semblent dignes d'intérêt d'un point de vue méthodologique et quelques questions qu'ils suscitent.
Vendredi 15 janvier : Julien Courtiel (université de la Colombie Britannique, Vancouver, Canada) http://www.math.ubc.ca/~jcourtie/
Titre : Cordes terminales dans les diagrammes connexes de cordes
Résumé :
Peut-être souvent mésestimés, les diagrammes de cordes et leur énumération apparaissent dans de nombreux domaines mathématiques : physique quantique, théorie des nœuds, échantillonnage de graphes, analyse de structures informatiques, et même bio-informatique...
Les travaux de cet exposé, en cours de rédaction et coréalisés avec Karen Yeats (SFU, Vancouver), se placent de le cadre de la physique quantique.
En effet, les solutions à certaines équations de Dyson-Schwinger (nous n'en parlerons que très peu, soyez rassurés) peuvent être définies grâce aux diagrammes de cordes connexes munies d'un paramètre particulier : les cordes dites terminales.
Nous étudierons donc quelques statistiques sur ces cordes terminales : leur nombre en moyenne, la position de la première corde terminale, etc.
Nous constaterons notamment l'apparition d'une loi limite de probabilité qui, à ma connaissance, n'est pas répertoriée dans la littérature.
Nous montrerons également en quoi les techniques classiques de combinatoire analytique ne peuvent s'appliquer et donnerons quelques idées sur la démarche à emprunter dans ce cas-là.
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Vendredi 15 janvier : Laura Ciobanu (Institut de mathématiques, université de Neuchâtel, Suisse) http://members.unine.ch/laura.ciobanu
Titre : Conjugacy languages and conjugacy growth series in groups
Résumé :
To any group G generated by a finite set X one can associate several languages of words over X, such as the language of normal forms, or of geodesics, and then determine whether such a language is regular, context-free etc.
One can also analyze the generating function of the language and determine whether it is rational, algebraic or transcendental.
In the last decades several beautiful results have established connections between the algebraic and geometric properties of the group and the languages and generating functions mentioned above.
In this talk I will introduce a language which picks one representative word out of each conjugacy class, and show how one can use tools from various areas to determine the transcendence of the conjugacy growth series in free groups.
All the necessary group theoretic concepts will be introduced.
Vendredi 8 janvier : Vincent Rivasseau (Laboratoire de Physique Théorique d'Orsay, université Paris-Sud XI) http://www.rivasseau.net/
Titre : Degré des graphes réguliers à arêtes colorées
Résumé : On introduira pour les graphes réguliers à arêtes colorées les notions de jaquettes et de degré de Gurau. Ce degré gouverne le comportement des fonctionnelles génératrices de ces graphes dans une certaine limite qui intéresse les physiciens théoriciens cherchant à quantifier la gravité. On identifiera et on énumèrera les graphes de degré maximal à ordre donné, dits « graphes méloniques ». Leur limite de Gromov Hausdorff coïncide avec l'arbre aléatoire d'Aldous, ainsi que l'ont prouvé Gurau et Ryan en s'appuyant sur les travaux d'Albenque et Marckert.
Vendredi 18 décembre : Cécile Mailler (Université de Bath (Angleterre), Prob-L@B, projet EPSRC Emergence of Condensation in Stochastic Networks) http://people.bath.ac.uk/cdm37/indexFR.html
Titre : Arbres et/ou : une approche par limite locale
Résumé :
Un arbre et/ou est un arbre dont les nœuds internes sont étiquetés soit par le connecteur logique ET, soit par le connecteur logique OU, et dont les feuilles sont étiquetées par des littéraux choisis parmi k variables booléennes {x1, ..., xk} et leurs négations.
Un tel arbre calcule une fonction booléenne à k variables, i.e. une fonction de {0,1}k dans {0,1}.
Je m'intéresse dans cet exposé à décrire la fonction booléenne aléatoire calculée par un arbre et/ou aléatoire, en fonction des propriétés de l'arbre aléatoire choisi.
Les résultats que je présente, obtenus en collaboration avec N. Broutin (Inria-Rocquencourt), concernent les arbres et/ou obtenus en étiquetant aléatoirement des arbres aléatoires standards : arbre de Catalan, arbre de Galton-Watson, arbre binaire de recherche aléatoire, etc.
Notre résultat principal décrit le comportement de la distribution induite sur l'ensemble des fonctions booléennes en fonction de la limite locale de l'arbre aléatoire sous-jacent.
Vendredi 11 décembre : (Petite école de combinatoire) Thomas Krajewski (Centre de Physique Théorique, Marseille) http://www.cpt.univ-mrs.fr/
Titre : Aspects combinatoires de la théorie quantique des champs (4)
Résumé : Cf. (1)
Vendredi 4 décembre : (Petite école de combinatoire) Adrian Tanasă
Titre : Aspects combinatoires de la théorie quantique des champs (3)
Résumé : Cf. (1)
Vendredi 27 novembre : Xavier Viennot
Titre : Bijections pour les tableaux alternatifs rhomboïdaux
Résumé :
(travail en commun avec Olya Mandelshtam)
Nous reprenons les tableaux alternatifs rhomboïdaux (ou triangulaires) introduits dans l'exposé précédent en interprétant combinatoirement les probabilités stationnaires du modèle PASEP avec deux types de particules (modèle à trois paramètres α, β et q).
Nous donnons une preuve bijective du fait que ces tableaux sont énumérés par les nombres de Lah (n+1)!/(k+1)! binomial(n,k) en construisant une bijection entre ces tableaux et les « assemblées » de permutations.
Cette bijection permet de décrire sur les assemblées les paramètres α et β du modèle physique.
Avec une autre bijection décrivant un processus d'insertion, nous obtenons une preuve bijective de l'expression explicite de la fonction de partition pour q=1 donnée au premier exposé.
Vendredi 20 novembre : Xavier Viennot
Titre : Tableaux alternatifs rhomboïdaux pour le PASEP à deux types de particules
Résumé :
(travail en commun avec Olya Mandelshtam)
Le modèle du PASEP (partially asymmetric exclusion process) est très connu dans la physique des systèmes dynamiques (et aussi au groupe combinatoire du LABRI).
Pour le modèle avec trois paramètres il s'agit de particules se déplaçant sur une bande dans les deux sens, avec entrée des particules à gauche et sortie à droite selon certaines probabilités α, β et q.
Ici nous étudions une extension, également classique en physique, avec deux types de particules.
Ce modèle est lié aux polynômes de Koorwinder-Macdonald.
Nous introduisons la notion de tableaux alternatifs rhomboïdaux (ou triangulaires) permettant d'interpréter combinatoirement les probabilités stationnaires du modèle à trois paramètres.
Ces tableaux sont énumérés par les nombres de Lah (n+1)!/(k+1)! (binomial n,k).
Nous donnons une expression explicite de la fonction de partition pour q=1.
Vendredi 13 novembre : (Petite école de combinatoire) Adrian Tanasă
Titre : Aspects combinatoires de la théorie quantique des champs (2)
Résumé : Cf. (1)
Vendredi 6 novembre : (Petite école de combinatoire) Adrian Tanasă
Titre : Aspects combinatoires de la théorie quantique des champs (1)
Résumé : Dans cette série d'exposés, je vais introduire quelques aspects mathématiques et combinatoires du formalisme de théories quantiques de champs (TQC). Dans la première partie de ce mini-cours, je vais définir la fonction de partition d'un modèle de TQC, fonction qui n'est rien d'autre qu'une fonctionnelle génératrice d'une certaine classe de graphes, dite graphes de Feynman. Ces graphes sont canoniquement accompagnés par certains poids, dits intégrales de Feynman. Dans la deuxième partie du mini-cours, nous allons regarder de plus prêt les expressions analytiques des intégrales de Feynman. Ces intégrales sont en général divergentes. Cependant, nous allons voir dans quelles conditions on peut extraire d'une telle intégrale divergente une partie convergente bien définie - la renormalisation.
Vendredi 23 octobre : Bérénice Delcroix-Oger (Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques de Toulouse) http://math.univ-lyon1.fr/~oger/
Titre : Algèbre de Hopf d'incidence des posets de partitions semi-pointées
Résumé :
Dans les années 1990, Schmitt a décrit un procédé qui permet d'associer à toute famille d'intervalles vérifiant certaines
conditions une algèbre de Hopf, appelée algèbre de Hopf d'incidence.
Une algèbre de Hopf d'incidence bien connue est celle associée aux posets de partitions, aussi connue sous le nom
d'algèbre de Hopf de Faà Di Bruno.
Après avoir rappelé les définitions nécessaires et présenté l'algèbre de Faà di Bruno, nous introduirons une algèbre de Hopf généralisant celle de Faà di Bruno : l'algèbre de Hopf d'incidence des partitions semi-pointées.
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Vendredi 23 octobre : Robert Cori
Titre : Du nouveau sur les mots de Dyck ?
Résumé : Il sera question de deux involutions sur les mots de Dyck de longueur donnée, la première est une symétrie classique la seconde qui semble nouvelle a été introduite par Yvan Le Borgne et moi-même dans le calcul du rang des configurations du graphe complet. On peut montrer que le nombre de leurs points fixes est le même égal à un coefficient binomial central. Plus étonnant est que la composition de ces deux involutions est une permutation dont tous les cycles sont de longueurs impaires. Nous avons avec les Bolognais Marilena Barnabei, Flavio Bonetti et le jeune Nicolo Catronuovo réussi à démontrer ce résultat après plusieurs semaines de tentatives diverses. Une idée de la preuve vous sera proposée.
Vendredi 9 octobre : Henri Derycke
Titre provisoire : Relaxation de configurations dans le modèle du tas de sable sur la grille ℤ2
Résumé :
Ce GT présente le travail effectué depuis février pendant mon stage de master sous la direction d'Yvan Le Borgne.
Ce travail porte sur la relaxation de certaines configurations dans le modèle du tas de sable sur la grille ℤ2.
Il aborde deux questions distinctes.
1. On se donne une configuration aléatoire définie indépendamment sur chaque sommet par 2 grains avec proba p et 3 grains avec proba 1-p.
L'ajout d'un grain à l'origine entraine une relaxation de support rectangulaire.
En supposant certaines symétries sur la configuration aléatoire, je montre que la probabilité sur le périmètre du rectangle peut se décrire par des statistiques sur des permutations avec quelques bijections à la clé.
2. Dans le cas des graphes finis, on peut, en distinguant un point, définir une structure de groupe dans le modèle du tas de sable sur un graphe.
Dans le cas ℤ2, l'étude motive le travail avec des configurations périodiques et le placement du puits à l'infini dans une direction.
On a alors des constructions analogues au cas fini mais à ce jour aucune structure naturelle de sous-groupe ne se détache sur des configurations périodiques.
Vendredi 18 septembre : Adrian Tanasă
Titre : Polynôme de Tutte, une nouvelle preuve d'universalité
Résumé : Après quelques notions introductives, je vais montrer une nouvelle façon de prouver l'universalité du polynôme de Tutte, façon qui ne nécessite pas les arguments habituels d'induction sur les arêtes du graphe. Si le temps le permet, je vais aussi montrer comment cela se généralise pour les graphes à ruban (ou graphes plongés dans des surfaces) et les polynômes de Bollobas-Riordan et Penrose.